Contagem e Probabilidade
Princípio fundamental da contagem, permutações, arranjos, combinações e probabilidade básica —
ferramentas para quantificar possibilidades e medir chances em cenários de incerteza.
Se um evento é composto por etapas independentes e sucessivas, o total de possibilidades é o produto das possibilidades de cada etapa.
- Etapas sucessivas: o que ocorre em uma etapa não interfere nas opções da etapa seguinte.
- Multiplicação: total = n₁ × n₂ × n₃ × ... × nₖ.
- Diagrama de árvore: representação visual de todas as ramificações possíveis.
- Aplicações: formação de senhas, combinação de roupas, rotas entre cidades, placas de veículos.
Ex.: uma lanchonete oferece 3 tipos de pão e 4 tipos de recheio. Total de sanduíches: 3 × 4 = 12 combinações possíveis.
O fatorial de um número natural n, denotado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos de 1 até n.
- Definição: n! = n × (n–1) × (n–2) × ... × 2 × 1.
- Casos especiais: 0! = 1 e 1! = 1.
- Simplificação: 7! / 5! = 7 × 6 × 5! / 5! = 42.
- Crescimento rápido: o fatorial cresce muito depressa (5! = 120; 10! = 3.628.800).
Dica: em divisão de fatoriais, desenvolva o maior até alcançar o menor e cancele os termos comuns.
Mede a chance de um evento ocorrer, variando de 0 (impossível) a 1 (certo). Pode ser expressa em fração, decimal ou porcentagem.
- Fórmula básica: P(E) = casos favoráveis / casos possíveis.
- Evento complementar: P(não E) = 1 – P(E).
- Eventos independentes: a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto das probabilidades.
- Eventos mutuamente exclusivos: a probabilidade de um ou outro ocorrer é a soma das probabilidades.
Na Cebraspe, é muito comum o uso de baralhos, dados, moedas e urnas com bolas coloridas como contextos.
Fundamentos da contagem e probabilidade
Multiplicação · Agrupamentos · Fatorial · Cálculo de chances
1. Princípio Fundamental da Contagem (PFC)
O PFC é a base de toda a análise combinatória. Quando você tem decisões encadeadas — por exemplo, escolher uma camisa,
depois uma calça, depois um sapato — e cada escolha é independente, o número total de combinações é simplesmente
a multiplicação do número de opções de cada etapa.
Uma armadilha comum é somar em vez de multiplicar. Some apenas quando as escolhas são alternativas (ou uma coisa, ou outra).
Multiplique quando as escolhas são cumulativas (uma coisa e outra). Se o enunciado diz "e", multiplique; se diz "ou", some
(desde que as opções sejam mutuamente exclusivas).
Exemplo prático
Para formar uma senha de 3 dígitos numéricos (0 a 9), permitindo repetição: 10 × 10 × 10 = 1.000 senhas.
Se não puder repetir dígitos: 10 × 9 × 8 = 720 senhas.
2. Tipos de agrupamentos: permutação, arranjo e combinação
Quando os elementos são organizados e a ordem importa, falamos de permutação (todos os elementos)
ou arranjo (parte dos elementos). Quando a ordem não importa, falamos de combinação.
Essa distinção é crucial: "formar fila" envolve ordem; "formar comissão" não envolve ordem.
- Permutação simples: Pₙ = n! (organizar n elementos distintos em fila).
- Permutação com repetição: Pₙ = n! / (a! × b! × c! ...), onde a, b, c são as quantidades de elementos repetidos.
- Arranjo simples: A(n,p) = n! / (n–p)! (escolher p elementos de n, com ordem).
- Combinação simples: C(n,p) = n! / [p! × (n–p)!] (escolher p elementos de n, sem ordem).
Regra prática
Na combinação, "grupo A e grupo B" é a mesma coisa que "grupo B e grupo A". No arranjo, são duas contagens diferentes.
3. Probabilidade: definição e propriedades
A probabilidade de um evento E é o número que representa a fração dos casos favoráveis em relação ao total de casos possíveis,
desde que todos os casos sejam igualmente prováveis (espaço amostral equiprovável). Esse cuidado é essencial:
se os resultados não forem equiprováveis, a fórmula simples não se aplica.
Duas propriedades importantíssimas: a probabilidade do evento complementar (não ocorrer) é 1 – P(E).
Para eventos independentes A e B, a probabilidade de ambos ocorrerem é P(A) × P(B).
Para eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade de ocorrer A ou B é P(A) + P(B).
Atenção
Não some probabilidades que não sejam mutuamente exclusivas sem antes subtrair a interseção: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).
4. Probabilidade condicional
É a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro evento já ocorreu. A fórmula é:
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B). Nesse caso, o espaço amostral se reduz ao evento B, e os casos favoráveis
são aqueles em que A e B ocorrem simultaneamente.
Exemplo clássico: em uma urna com 5 bolas vermelhas e 3 azuis, retirando-se duas sem reposição,
a probabilidade de a segunda ser vermelha dado que a primeira foi azul é 5/7 (pois restaram 5 vermelhas em 7 bolas).
Sempre ajuste o espaço amostral após a primeira extração.
Macete
Leia "dado que" ou "sabendo-se que" como um sinal para aplicar probabilidade condicional. Redesenhe o espaço amostral com a nova informação.
Tabela de síntese – contagem e probabilidade
| Tipo de problema |
O que pergunta |
Estratégia de resolução |
| PFC (etapas sucessivas) |
Quantas combinações diferentes são possíveis? |
Identifique cada etapa, conte as opções e multiplique. |
| Permutação |
De quantas maneiras é possível ordenar n elementos? |
Use n! se todos forem distintos; divida pelos fatoriais das repetições. |
| Arranjo |
De quantas maneiras é possível escolher p elementos de n com ordem? |
A(n,p) = n! / (n–p)!. |
| Combinação |
De quantas maneiras é possível escolher p elementos de n sem ordem? |
C(n,p) = n! / [p! × (n–p)!]. |
| Probabilidade simples |
Qual a chance de um evento ocorrer? |
P(E) = favoráveis / possíveis (espaço equiprovável). |
| Probabilidade condicional |
Qual a chance de A dado que B ocorreu? |
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B). |
Exercícios comentados
1. Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5?
Resolução
Para o primeiro algarismo: 5 opções. Para o segundo: 4 (não pode repetir). Para o terceiro: 3. Total = 5 × 4 × 3 = 60 números.
2. Em uma urna há 4 bolas brancas e 6 pretas. Retira-se uma bola ao acaso. Qual a probabilidade de ser branca?
Resolução
Total de bolas = 10. Favoráveis (brancas) = 4. P(branca) = 4/10 = 2/5 = 0,4 = 40%.
3. De quantas maneiras diferentes uma comissão de 3 pessoas pode ser formada a partir de um grupo de 8 pessoas?
Resolução
A ordem não importa (comissão). Combinação: C(8,3) = 8! / (3! × 5!) = (8×7×6) / (3×2×1) = 336 / 6 = 56 maneiras.
4. (Adaptado Cebraspe) Lança-se uma moeda honesta 3 vezes. A probabilidade de obter exatamente 2 caras é 3/8. Certo ou errado?
Resolução
Espaço amostral: 2³ = 8 resultados possíveis. Eventos favoráveis (C = cara, K = coroa): C-C-K, C-K-C, K-C-C. Total de 3 casos. Probabilidade = 3/8. Certo.
Aplicações no cotidiano e na prova
Cálculo do número de senhas possíveis com letras e dígitos, com ou sem repetição, e a probabilidade de acertar uma senha aleatoriamente.
Uso de combinação para calcular a probabilidade de acertar um determinado jogo (ex.: Mega-Sena: C(60,6) combinações possíveis).
Probabilidade de selecionar um item defeituoso em um lote, ou de escolher uma amostra com determinada composição.
Atividade de estudo
Calcule: (a) De quantas maneiras 5 pessoas podem sentar-se em 5 cadeiras enfileiradas?
(b) Qual a probabilidade de, ao lançar dois dados, a soma das faces ser 7?
Resumo estratégico
Pontos mais cobrados em contagem e probabilidade
- PFC: multiplique o número de opções de cada etapa independente. "E" = multiplicar; "OU" = somar (exclusivos).
- Permutação: ordem importa e todos os elementos são usados → n! (ajuste para repetições).
- Arranjo: ordem importa e apenas parte dos elementos é escolhida → A(n,p).
- Combinação: ordem não importa → C(n,p). Palavras-chave: comissão, grupo, conjunto, escolha.
- Probabilidade: P(E) = favoráveis / possíveis (espaço equiprovável).
- Condicional: dado que B ocorreu, o espaço amostral se reduz a B.
Mapa mental
Definir o experimento → contar o total de casos (espaço amostral) → contar os casos favoráveis → verificar se ordem importa (combinação ou arranjo?) → aplicar a fórmula correta → verificar se há dependência entre eventos → calcular a probabilidade.