Equivalências lógicas
Revisar equivalências, negações de conectivos e transformações de condicionais.
Ferramentas essenciais para resolver questões do Cebraspe sem construir tabelas-verdade extensas.
Duas proposições P e Q são equivalentes quando possuem a mesma tabela-verdade (mesmo valor lógico para todas as combinações de valores das proposições simples).
- Notação: P ⇔ Q ou P ≡ Q.
- Como verificar: tabela-verdade ou aplicação de leis já conhecidas.
No Cebraspe, é comum aparecer: “A proposição X é logicamente equivalente à proposição Y”.
- Dupla negação: ¬¬p ≡ p
- Idempotência: p ∧ p ≡ p; p ∨ p ≡ p
- Comutatividade: p∧q ≡ q∧p; p∨q ≡ q∨p
- Associatividade: (p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r); idem para ∨
- Distributividade: p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r); p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r)
- Leis de De Morgan: ¬(p∧q) ≡ ¬p ∨ ¬q; ¬(p∨q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- Contrapositiva: p→q ≡ ¬q → ¬p
- Transformação da condicional: p→q ≡ ¬p ∨ q
- Equivalências do bicondicional: p↔q ≡ (p→q) ∧ (q→p) ≡ (p∧q) ∨ (¬p∧¬q)
- Negação da conjunção: ¬(p∧q) ≡ ¬p ∨ ¬q
- Negação da disjunção: ¬(p∨q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- Negação da condicional: ¬(p→q) ≡ p ∧ ¬q
- Negação do bicondicional: ¬(p↔q) ≡ p ↔ ¬q (ou p ⊕ q – ou exclusivo)
A negação da condicional é a mais cobrada e a que mais causa erros. Decore: p ∧ ¬q.
Fundamentos das equivalências lógicas
Leis de De Morgan, contrapositiva, transformações
1. Leis de De Morgan (negação de conjunção e disjunção)
As leis de De Morgan são essenciais para negar proposições com “e” ou “ou”. A negação de “p e q” é “não p ou não q”. A negação de “p ou q” é “não p e não q”.
Exemplos
• ¬(chove e faz frio) ≡ ¬chove ∨ ¬faz frio (ou não chove, ou não faz frio).
• ¬(estudo ou trabalho) ≡ ¬estudo ∧ ¬trabalho (nem estudo nem trabalho).
2. A contrapositiva da condicional (p→q ≡ ¬q→¬p)
A contrapositiva é uma equivalência muito utilizada pelo Cebraspe. Dada uma condicional “se p, então q”, ela equivale a “se não q, então não p”.
Importante
A recíproca (q→p) e a inversa (¬p→¬q) NÃO são equivalentes à condicional original. Apenas a contrapositiva é equivalente.
3. Transformação da condicional em disjunção (p→q ≡ ¬p ∨ q)
Qualquer condicional “se p, então q” pode ser reescrita como “não p ou q”. Essa transformação é útil para negar condicionais e comparar proposições.
Macete
Lembre-se: a condicional só é falsa quando p é verdadeiro e q é falso. Portanto, dizer “se p então q” equivale a dizer “ou não p, ou q” (pois nesse caso, a única combinação proibida é p verdadeiro e q falso).
4. Equivalências do bicondicional
“p se e somente se q” equivale a dizer que ambas têm o mesmo valor lógico. Duas formas úteis:
- p↔q ≡ (p→q) ∧ (q→p) (as duas condicionais)
- p↔q ≡ (p∧q) ∨ (¬p∧¬q) (ambas verdadeiras ou ambas falsas)
5. Como o Cebraspe cobra equivalências
- Itens “certo/errado” perguntando se uma proposição é equivalente a outra.
- Questões que pedem a negação de uma proposição composta, especialmente condicional.
- Transformação de frases da linguagem natural para a lógica proposicional e vice-versa.
- Identificação de equivalências válidas em listas de alternativas.
Tabela de equivalências fundamentais
| Nome | Equivalência | Exemplo (linguagem natural) |
|---|
| Dupla negação | ¬¬p ≡ p | “Não é verdade que não chove” ≡ “Chove” |
| De Morgan (∧) | ¬(p∧q) ≡ ¬p∨¬q | “Não (chove e faz frio)” ≡ “Não chove ou não faz frio” |
| De Morgan (∨) | ¬(p∨q) ≡ ¬p∧¬q | “Não (estudo ou trabalho)” ≡ “Não estudo e não trabalho” |
| Contrapositiva | p→q ≡ ¬q→¬p | “Se chove, molha” ≡ “Se não molha, não chove” |
| Condicional → disjunção | p→q ≡ ¬p∨q | “Se chove, molha” ≡ “Não chove ou molha” |
| Negação da condicional | ¬(p→q) ≡ p∧¬q | “Não (se chove então molha)” ≡ “Chove e não molha” |
| Bicondicional → conjunção | p↔q ≡ (p→q)∧(q→p) | “Vou sse ganho ingresso” ≡ “(se vou então ganho) e (se ganho então vou)” |
Exercícios comentados (estilo Cebraspe)
1. (Cebraspe) A proposição “Se Paulo é médico, então sabe diagnosticar” é logicamente equivalente a “Se Paulo não sabe diagnosticar, então não é médico”. Certo ou errado?
Resposta
Certo. Aplica-se a contrapositiva: p→q ≡ ¬q→¬p, onde p = “Paulo é médico”, q = “sabe diagnosticar”.
2. Qual a negação de “Se o projeto for aprovado, então haverá recursos”?
Resposta
“O projeto é aprovado e não haverá recursos”. ¬(p→q) ≡ p ∧ ¬q.
3. (Cespe) A proposição “(p ∧ q) → r” é equivalente a “p → (q → r)”. Essa afirmação está correta?
Resposta
Certo. Por meio de transformações: (p∧q)→r ≡ ¬(p∧q)∨r ≡ (¬p∨¬q)∨r ≡ ¬p∨(¬q∨r) ≡ ¬p∨(q→r) ≡ p→(q→r).
4. A negação de “Maria é professora e João é engenheiro” é “Maria não é professora e João não é engenheiro”. Certo ou errado?
Resposta
Errado. A negação de (p∧q) é ¬p ∨ ¬q, e não ¬p∧¬q. A correta seria “Maria não é professora ou João não é engenheiro”.
Armadilha clássica do Cebraspe
Muitas questões trocam a negação da condicional por outra condicional. A negação de “se p, então q” NUNCA é “se p, então não q” nem “se não p, então q”. A negação é sempre uma conjunção: p e não q.
Aplicações e estratégias para a prova
Para proposições com 2 ou 3 variáveis, a tabela é viável. Para mais variáveis ou para ganhar tempo, use as leis de equivalência. O Cebraspe espera que você domine as transformações.
Negue passo a passo: comece de fora para dentro. Aplique De Morgan quando houver “e” ou “ou”; para condicional, use p∧¬q; para bicondicional, lembre-se que ¬(p↔q) ≡ p↔¬q.
Questões de argumentação podem pedir para reescrever uma frase de forma equivalente. Ex: “É necessário estudar para passar” ≡ “Se passa, então estudou”.
Resumo prático – o que guardar
✔ ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q
✔ ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q
✔ ¬(p → q) = p ∧ ¬q (DECORE BEM)
✔ p → q = ¬p ∨ q
✔ p → q = ¬q → ¬p (contrapositiva)
✔ p ↔ q = (p→q) ∧ (q→p)
✔ ¬(p ↔ q) = p ↔ ¬q
Resumo estratégico para o Cebraspe
Equivalências que mais caem
- Contrapositiva – sempre cobrada.
- Negação da condicional – recorde de incidência.
- De Morgan – base para negação de conjunções/disjunções.
- Transformação p→q ≡ ¬p∨q – útil para resolver equivalências complexas.
- Dupla negação – simples, mas fácil de esquecer.
Mapa mental – como verificar equivalência
Dadas P e Q → construa tabelas-verdade (ou use leis) → compare as últimas colunas → se idênticas, são equivalentes.
Treine com expressões
Verifique se (p → q) ∧ p é equivalente a p ∧ q. (Resposta: não, pois (p→q)∧p ≡ p∧q é uma equivalência válida? Sim, é uma lei de absorção modificada. Na verdade, (p→q)∧p ≡ p∧q. Teste na tabela.)