Raciocínio Lógico: Tabelas-verdade

O que é tabela-verdade

Ferramenta da lógica proposicional que exibe todos os possíveis valores lógicos (V ou F) de uma proposição composta, a partir de todas as combinações de valores de suas proposições simples.

Número de linhas: 2ⁿ, onde n é o número de proposições simples.
Finalidade: determinar o valor lógico da composta para cada caso; verificar equivalências; identificar tautologias, contradições e contingências.

No Cebraspe, tabelas-verdade são usadas para julgar itens sobre valores lógicos e equivalências.

Etapas de construção

Identificar proposições simples (letras).
Determinar número de linhas (2ⁿ).
Distribuir valores V/F para cada proposição de forma sistemática.
Resolver conectivos menores (negações) primeiro.
Resolver conectivos de acordo com a precedência (~, ∧/∨, →, ↔).
Preencher a coluna final da proposição composta.

Dica: para distribuir V/F, use o padrão: metade das linhas V, metade F; depois vá dividindo ao meio.

Tautologia, contradição, contingência

Tautologia: proposição composta sempre verdadeira, independentemente dos valores das partes (ex: p ∨ ¬p).
Contradição: sempre falsa (ex: p ∧ ¬p).
Contingência: ora verdadeira, ora falsa, dependendo dos valores das proposições simples.

Cebraspe adora perguntar: “A proposição é uma tautologia? Contradição?”. Resolver a tabela é a garantia.

Construção e análise de tabelas-verdade

Passo a passo, exemplos e classificação

1. Construindo a tabela para uma proposição com 2 variáveis

Seja a proposição: p → q (condicional). Passos:

n = 2 → 2² = 4 linhas.
Colunas: p, q, p → q.
Distribuição das combinações: (V,V), (V,F), (F,V), (F,F).
Avaliar condicional: só é F quando p=V e q=F; demais V.

p	q	p → q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

2. Tabela para proposição com 3 variáveis

Exemplo: (p ∧ q) → r

n=3 → 8 linhas.
Distribuir valores: primeira coluna (p): 4 V, 4 F; segunda (q): 2 V, 2 F, 2 V, 2 F; terceira (r): V,F,V,F,... alternado.

Resumo da combinação para 3 proposições

p	q	r	p∧q	(p∧q)→r
V	V	V	V	V
V	V	F	V	F
V	F	V	F	V
V	F	F	F	V
F	V	V	F	V
F	V	F	F	V
F	F	V	F	V
F	F	F	F	V

3. Classificação: tautologia, contradição ou contingência

Após preencher a última coluna da proposição composta:

Tautologia: todos os valores na última coluna são V.
Contradição: todos os valores são F.
Contingência: há pelo menos um V e um F.

Exemplo de tautologia famosa p ∨ ¬p (princípio do terceiro excluído). Tabela: p=V → V∨F=V; p=F → F∨V=V. Sempre V.

4. Como o Cebraspe cobra tabelas-verdade

Questões que dão os valores de p, q, r e pedem o valor da composta.
Itens “certo/errado” sobre classificação (tautologia/contradição).
Proposição com várias proposições simples: o candidato deve saber montar ou deduzir linhas sem desenhar a tabela completa, usando raciocínio.
Em alguns casos, a banca cobra a ordem de resolução (precedência dos conectivos).

Estratégia de prova Para proposições com 3 ou mais variáveis, na hora da prova, muitas vezes é mais rápido raciocinar: “Para ser tautologia, deve ser verdadeira em todas as combinações; basta encontrar uma combinação que torne falsa para descartar tautologia.”

Tabela de precedência dos conectivos

Ordem	Conectivo	Observação
1º	Negação (~)	Resolve-se primeiro
2º	Conjunção (∧) e Disjunção (∨)	Mesma precedência; resolver da esquerda para a direita ou usar parênteses
3º	Condicional (→)	Depois de ∧ e ∨
4º	Bicondicional (↔)	Último

Caso haja parênteses, eles anulam a precedência e devem ser resolvidos primeiro.

Exercícios comentados (estilo Cebraspe)

1. Construa a tabela-verdade para a proposição ¬(p ∧ q) e classifique.
Resolução

p	q	p∧q	¬(p∧q)
V	V	V	F
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	V

Classificação: contingência (tem V e F).

2. (Cespe) A proposição (p → q) ↔ (~q → ~p) é uma tautologia? Justifique.
Resposta
Sim, é tautologia. Trata-se da contrapositiva, equivalente. Na tabela, todas as combinações resultam em V.

3. Dada a proposição (p ∧ ~p) → q, qual é seu valor lógico independentemente de q?
Resposta
p ∧ ~p é sempre F (contradição). Na condicional, F → q é sempre verdadeiro (V). Portanto, a proposição é uma tautologia (sempre V). O Cebraspe já cobrou esse tipo de raciocínio.

4. (Cebraspe) Julgue: A tabela-verdade de uma proposição composta com 4 proposições simples possui 16 linhas.
Resposta
Certo. 2⁴ = 16 linhas.

Armadilha comum Muitos candidatos erram a distribuição de valores na tabela. Lembre-se de que na primeira coluna (p), metade das linhas é V e metade F; na segunda coluna (q), dividir a metade ao meio, e assim sucessivamente.

Aplicações práticas e dicas para a prova

Resolução sem tabela completa

Quando o item pergunta se uma proposição é tautologia, tente encontrar uma linha que a torne falsa. Se encontrar, não é tautologia. Se não encontrar rapidamente, monte a tabela. Para contradição, procure uma linha que torne verdadeira.

Uso da tabela para equivalências

Duas proposições são equivalentes se possuem a mesma última coluna na tabela-verdade (todos os valores iguais linha a linha).

Questões com valores atribuídos

A banca pode dizer: “Considerando p=V, q=F, r=V, qual o valor de (p ∨ q) → ¬r?”. Basta substituir e resolver, sem tabela completa.

Checklist para construir tabela rapidamente na prova ✔ 1. Quantas proposições? (n)
✔ 2. Desenhar 2ⁿ linhas.
✔ 3. Preencher colunas das proposições simples (padrão binário).
✔ 4. Calcular negações primeiro.
✔ 5. Calcular ∧ e ∨.
✔ 6. Calcular condicionais.
✔ 7. Bicondicionais por último.
✔ 8. Analisar a última coluna: tautologia (tudo V), contradição (tudo F), contingência (misturado).

Resumo estratégico para o Cebraspe

O que não esquecer na prova

Número de linhas = 2ⁿ. Guarde: n=1 → 2 ln; n=2→4; n=3→8; n=4→16.
Tautologia: sempre V. Ex: p ∨ ¬p, (p→q) ∨ p.
Contradição: sempre F. Ex: p ∧ ¬p.
Contingência: depende dos valores (maioria das proposições).
Ordem de resolução: negação → conjunção/disjunção → condicional → bicondicional.
Condicional (p→q) só é falsa quando p=V e q=F.

Mapa mental da tabela-verdade Proposição composta → identificar n → desenhar 2ⁿ linhas → distribuir valores nas proposições simples → aplicar conectivos internos → obter valor da composta em cada linha → classificar.

Treine com: (~p ∨ q) ↔ (p → q). Construa a tabela e verifique que é uma tautologia (o bicondicional de uma condicional com sua forma equivalente).