Lógica sentencial ou proposicional
Proposições, conectivos lógicos: negação, conjunção, disjunção, condicional e bicondicional.
Fundamentos da lógica proposicional para o Cebraspe.
Declaração declarativa que pode ser classificada como verdadeira ou falsa, nunca ambos.
- Proposição simples: contém uma única afirmação (ex: “O solo é fértil”).
- Proposição composta: formada por duas ou mais proposições simples ligadas por conectivos.
- Valor lógico (V/F): toda proposição tem exatamente um dos dois valores.
Ex.: “A Lua é feita de queijo” – proposição falsa.
“2 + 2 = 4” – proposição verdadeira.
Operadores que combinam proposições simples para formar compostas.
- Negação (~ ou ¬): inverte o valor lógico.
- Conjunção (∧ ou e): verdadeiro somente se ambas forem V.
- Disjunção (∨ ou ou): verdadeiro se ao menos uma for V (inclusivo).
- Condicional (→ ou se...então): falso apenas quando a primeira é V e a segunda F.
- Bicondicional (↔ ou se e somente se): verdadeiro quando ambas têm o mesmo valor lógico.
Dica: decore os conectivos pelos símbolos e pela tabela-verdade. No Cebraspe, caem muito a condicional e a negação.
Expressões que contêm variáveis e só se tornam proposições (V ou F) quando as variáveis são substituídas por um valor específico.
- Exemplo: “x + 3 = 7” – não tem valor lógico fixo.
- Quando x = 4: torna-se verdadeira.
- Quando x = 5: torna-se falsa.
Muito cuidado: no Cebraspe, questões que usam “todo”, “algum”, “nenhum” geralmente exigem conhecimento de quantificadores (lógica de predicados).
Fundamentos da lógica proposicional
Proposições, conectivos, valor lógico e tabelas verdade
1. O que é uma proposição?
Uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser classificada como verdadeira (V) ou falsa (F), nunca as duas coisas ao mesmo tempo. Frases interrogativas, exclamativas, imperativas ou optativas não são proposições.
Exemplos de proposições
• “O Brasil fica na América do Sul.” → V
• “O Cebraspe é uma banca de concurso.” → V
• “A água é seca.” → F
• “12 é múltiplo de 5.” → F
O que NÃO é proposição
“Que dia é hoje?” (interrogativa) – “Estude bastante!” (imperativa) – “Ah, que belo dia!” (exclamativa). Essas não possuem valor lógico.
2. Conectivos e seus símbolos (essenciais para o Cebraspe)
A tabela abaixo resume os conectivos mais cobrados:
| Nome | Símbolo | Leitura | Valor lógico verdade |
|---|
| Negação | ¬p, ~p, não p | "não p" | contrário de p |
| Conjunção | p ∧ q, p e q | "p e q" | V quando p e q são V |
| Disjunção inclusiva | p ∨ q, p ou q | "p ou q" | V quando pelo menos uma for V |
| Condicional | p → q, se p então q | "se p, então q" | F apenas quando p é V e q é F |
| Bicondicional | p ↔ q, p se e somente se q | "p sse q" | V quando p e q têm mesmo valor lógico |
Macete para condicional
A única maneira de “se p então q” ser falso é quando a primeira é V e a segunda é F. Decore: “V → F = F; todo o resto é V”.
3. Tabelas-verdade para proposições compostas
A tabela-verdade de uma proposição composta mostra seu valor lógico para todas as combinações possíveis dos valores das proposições simples que a compõem. Se houver n proposições simples, a tabela terá 2ⁿ linhas.
Exemplo: tabela da conjunção (p ∧ q)
No Cebraspe, as questões frequentemente apresentam uma proposição composta e pedem para identificar seu valor lógico em determinada situação ou comparar com outra proposição (equivalência).
4. Como o Cebraspe cobra lógica proposicional
- Itens "certo" / "errado": você deve julgar se uma proposição é equivalente a outra, se uma negação está correta, ou se uma proposição composta é verdadeira (ou falsa) dadas premissas.
- Proposições no enunciado: muitas questões trazem pequenos textos argumentativos e pedem para avaliar afirmações sobre eles.
- Equivalências famosas: contrapositiva (p→q ≡ ¬q→¬p), De Morgan (¬(p∧q) ≡ ¬p∨¬q ; ¬(p∨q) ≡ ¬p∧¬q), negação da condicional (¬(p→q) ≡ p∧¬q).
Estratégia de estudo
Monte tabelas-verdade passo a passo. Comece com conectivos simples, depois resolva expressões como: ¬(p ∧ ¬q) → r. Pratique a construção mental de tabelas.
Tabela de síntese – conectivos mais cobrados
| Conectivo |
Símbolo |
Condição de verdade (V) |
Exemplo |
| Negação | ¬p | p é F | ¬(2+2=5) é V |
| Conjunção | p ∧ q | p V e q V | “Chove e faz frio” só V se ambas acontecerem |
| Disjunção | p ∨ q | p V ou q V (ou ambas) | “Estudo ou trabalho” – V se pelo menos um for V |
| Condicional | p → q | não ocorre p V e q F | “Se chover, então molho” – só F se chover e não molhar |
| Bicondicional | p ↔ q | p e q têm mesmo valor | “Vou ao cinema sse ganho ingresso” – mesma verdade |
Exercícios comentados (estilo Cebraspe)
1. (Cebraspe – adaptada) Considere a proposição: “Se o solo é fértil, então a produção aumenta”. Qual das opções abaixo é logicamente equivalente?
Resposta
A contrapositiva: “Se a produção não aumenta, então o solo não é fértil”. No Cebraspe, a equivalência “p→q ≡ ¬q→¬p” é uma das mais cobradas.
2. Dada a proposição composta: (p ∨ q) ∧ ¬r. Considerando p=V, q=F, r=V, qual é o valor lógico da expressão?
Resolução
(V ∨ F) ∧ ¬V = (V) ∧ (F) = FALSO.
3. (Cespe/UnB) A negação de “João é alto e Maria é baixa” é “João não é alto ou Maria não é baixa”. Esta afirmação está certa ou errada?
Resposta
Certa. Aplicação da Lei de De Morgan: ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B.
4. Qual a negação da proposição “Se o candidato estuda, então ele passa”?
Resposta
“O candidato estuda e não passa”. Pois ¬(p→q) ≡ p ∧ ¬q.
Armadilha comum na Cebraspe
Muitos erram a negação do “se...então” achando que é “se...então” novamente. Lembre-se: a negação nunca é um condicional, é uma conjunção (afirmar a primeira e negar a segunda).
Aplicações e dicas para a prova
Identificar se uma sentença é proposição e se possui conectivos. Toda proposição composta tem pelo menos um conectivo. Cuidado com frases que parecem proposições mas não são (ordens, perguntas).
Para expressões com 2 ou 3 proposições, faça a tabela mentalmente ou no rascunho. Use a ordem: primeiro resolva dentro de parênteses, depois negações, depois conjunções/disjunções, depois condicionais.
~ (negação) > ∧ / ∨ > → > ↔. Parênteses alteram a precedência. No Cebraspe, quase sempre o uso de parênteses é explícito, mas conhecer a ordem ajuda.
Checklist para acertar questões
✔ Identifique se a sentença é proposição.
✔ Extraia as proposições simples e atribua letras (p, q, r).
✔ Escreva a fórmula lógica completa.
✔ Aplique os valores dados ou monte a tabela verdade.
✔ Para equivalência, teste as alternativas ou aplique regras conhecidas.
Resumo estratégico para o Cebraspe
O que não esquecer na prova
- Toda proposição tem valor V ou F, nunca ambos.
- Condicional (→) só é falsa quando V→F.
- Bicondicional (↔) é verdadeiro quando os valores coincidem.
- Conjunção (∧) exige ambas verdadeiras.
- Disjunção (∨) basta uma verdadeira.
- Negar condicional: p ∧ ¬q (lembre sempre!).
- Contrapositiva é equivalente: p→q ≡ ¬q→¬p.
- De Morgan: ¬(p∧q) ≡ ¬p∨¬q ; ¬(p∨q) ≡ ¬p∧¬q.
Mapa mental da lógica proposicional
Sentença declarativa → proposição? → identificar conectivos → construir fórmula → aplicar valores ou tabela → avaliar verdade/falsidade → comparar equivalências ou negações.
Treine com expressões como:
~(p ∧ ~q) → r . Monte a tabela verdade para p, q, r. Esse tipo de questão aparece com frequência nos concursos de nível médio/superior do Cebraspe.